Algorithmen und rekursive Funktionen - download pdf or read online

By A. I. Malcev (auth.)

ISBN-10: 332285356X

ISBN-13: 9783322853561

ISBN-10: 3528083271

ISBN-13: 9783528083274

Noch in den 30er Jahren unseres Jahrhunderts erweckten die mathematische Logik und die damals entstehende Algorithmentheorie den Anschein besonders abstrakter und von praktischen Anwendungen besonders weit entfernter mathe­ matischer Disziplinen. Heute hat sich die state of affairs radikal verändert. Es ist jetzt allgemein anerkannt, daß die beiden genannten Disziplinen eine theoretische Grundlage für Aufbau und Anwendungen schnell arbeitender Rechen-und Steu­ erungssysteme schaffen. Das relative Gewicht der mathematischen Logik und der Algorithmentheorie wuchs auch in der Mathematik selbst stark an. Darüber hinaus dringen gegenwärtig in beträchtlichem Maße durch die Algorithmentheorie und die mathematische Logik mathematische Methoden in die Biologie, die Lin­ guistik, die Wirtschaftswissenschaften und sogar Philosophie der Naturwissen­ schaften ein. All dies hat dazu geführt, daß die mathematische Logik und die Algorithmentheorie angefangen haben, in die Lehrpläne unserer Universitäten und pädagogischen Hochschulen als für das Studium der Mathematikstudenten aller Fachrichtungen obligatorische Disziplin einzudringen. Das vorliegende Buch ist aus der Bearbeitung von Nachschriften von Vorlesun­ gen über mathematische Logik, Algorithmentheorie und deren Anwendungen ent­ standen, die der Verfasser in den Jahren 1956-1959 an der pädagogischen Hoch­ schule von lvanovsk und seit dem Jahr 1960 an der Universität Novosibirsk gehalten hat. In ihm wird nur die allgemeine Theorie der Algorithmen und der rekursiven Funktionen entwickelt. Ganz außerhalb des Rahmens des Buches blieben die Komplexe automobile· matentheorie, Anwendungen der Algorithmentheorie auf formale Theorien und Theorie der Unlösbarkeitsgrade. Eine irgendwie ausführliche Darstellung dieser Disziplinen zum gegenwärtigen Zeitpunkt bedarf besonderer Einzeldar­ stellungen.

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Die vorliegende Dissertation entstand wahrend meiner Tatigkeit als wissenschaftlicher Mitarbeiter im Fach Automatisierungstechnik an der Universitat - Gesamthochschule - Paderborn. Dem Leiter des Fachgebietes, Herrn Prof. Dr. -Ing. J. Luckel, mochte ich fur seine Forde rung und sein Interesse an dieser Arbeit herzlich danken.

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Der Band stellt mathematikdidaktisches Basiswissen bereit, das für den Unterricht in der Sekundarstufe proper ist. Im Fokus steht dabei ein schülerorientierter und kognitiv aktivierender Mathematikunterricht, der inhaltlich und konzeptionell auf den aktuell gültigen Bildungsstandards aufbaut. Einerseits werden theoretische Ideen und empirische Evidenz rund um das Lehren und Lernen beschrieben, andererseits steht die Auseinandersetzung mit dem Fach Mathematik im Vordergrund, die an exemplarischen Inhalten illustriert und mit geeigneten Aufgaben unterstützt wird.

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J. HoEHNKE zurück. -J. -J. ): Studien zur Algebra und illre Anwendungen, Akademie-Verlag, Berlin 1972, pp. 13-32 (Anm. d. ). 14 2. Grundlegende berechenbare Operatoren Symbole li> ••• , 1,, Im" dienen (Terme dieser Gestalt werden wir Operatorterme nennen); in der Form eines Terms (und nicht des Wertes eines Terms), der aus den Funktionszeichen ft, ... ,1, und gewissen (möglichrweise fiktiven) Objektvariablen aufgebaut ist. Diese Schreibweise werden wir die Termschreibweise nennen. Wir bemerken noch einmal, daß im ersten Fall die Funktion I Wert eines Terms ist, und daß im zweiten Falle die Funktion I durch einen' Term Oßrgestellt wird.

Die modifizierte Differenz ist im Gegensatz zur gewöhnlichen Differenz im Bereich der natürlichen Zahlen überall definiert und gleichzeitig mit der gewöhnlichen Differenz auf sehr einfache Weise verbunden. So ist zum Beispiel nach (6) 5 -'- 3 = 2, 3 -'- 5 = 0, (x -'- y) -'- z = x -'- (y + z). 2. _ 1 genügt dem primitiv rekursiven Schema. 0 ...... _ 1 primitiv rekursiv. _ 1. _ 1 entsteht. Die beiden letzten Funktionen sind primitiv rekursiv. _ y primitiv rekursiv. _ x). Damit unterbrechen wir vorläufig das Studium der Eigenschaften primitiv rekursiver Funktionen.

Wenn mindestens einer dieser Ansdrücke einen undefinierten Wert hat. , m 1) nicht definiert. Wir führen jetz~ einen der Hauptbegriffe der Theorie der rekursiven Funktionen ein. Gegeben sei ein System y irgendwelcher partieller Funktionen. Eine partielle Funktion f heißt primitiv rekursiv bezüglich y, wenn man sie aus den Funktionen des Systems y und den Anfangsfunktionen s, o, Im" durch eine endliche Anzahl von Operationen der Substitution und der primitiven Rekursion erhalten kann. Eine Funktion f heißt einfach primitiv rekursiv, wenn man sie nur von den Anfangsfunktionen s, o, Im" ausgehend durch eine endlicheAnzahl von Operationen der Substitution und der primitiven Rekursion erhalten kann.

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